Quella che segue è la soluzione al rompicapo "Le noci di cocco", che potete trovare qui:
a) La risposta è 15
noci. Infatti se alla fine resta una noce (quella che viene data
alla scimmia) vuol dire che il terzo marinaio si è trovato
davanti ad un mucchio di 3 noci, dal quale ne ha prese 2, ovvero
metà del mucchio (cioè una noce e mezza) più
mezza noce, lasciandone 1. Analogamente il secondo marinaio avrà
avuto a disposizione 7 noci prendendone 4 (3 e mezzo + 1 mezza noce)
e lasciandone appunto 3 per il terzo marinaio. Infine, il primo marinaio
poteva disporre di un totale di 15 noci, e ne ha prese 8.
b) La risposta è 3121
noci. In realtà in questo caso la risposta non è
unica, ma chiaramente una volta nota una soluzione le altre potranno
essere ottenute semplicemente sommando o sottraendo una costante
che in questo caso vale 56 = 15625. In questo caso 3121
rappresenta il numero minimo di noci di cocco. Per ricavare questo
valore è sufficiente risolvere il seguente sistema.
Y = 5 x A + 1
4 x A = 5 x B + 1
4 x B = 5 x C + 1
4 x C = 5 x D + 1
4 x D = 5 x E + 1
4 x E = 5 x F
in cui Y è il numero totale
di noci all'inizio, F è il numero di noci che ciascun uomo
riceve al termine della spartizione, A B C D E sono il numero di
noci prese da ciascun marinaio durante la notte ed infine il +1 indica
la noce che viene ogni volta data alla scimmia. Da notare che tutti
questi valori devono essere interi.
Facendo delle semplici sostituzioni di variabili si ottiene:
1024 x Y = 15625 x F + 8404
A questo punto bisogna risolvere
questa equazione tenendo presente che i risultati devono essere interi.
Si può anche procedere per tentativi, ma ci sono dei metodi
matematici precisi che permettono la risoluzione. Ad esempio ci si
può ricondurre ad un problema di programmazione lineare intera
(si veda un qualunque libro di ricerca operativa), in cui la precedente
equazione rappresenta un vincolo e la funzione obiettivo da minimizzare
è semplicemente Y, cioè il numero di noci. Così
procedendo si ottiene la soluzione preannunciata 3121.
Per una trattazione più
approfondita vi consiglio di consulatare il libro "Enigmi e
giochi matematici" di Martin Gardner in cui c'è un intero
capitolo dedicato a questo enigma.
c) Nel caso generale la soluzione
è data da:
Per N dispari:
(1 + N x K) x NN - (N - 1)
Per N pari:
(N - 1 + N x K) x NN - (N - 1)
con K intero.
2 commenti:
La soluzione al problema delle noci di cocco è la seguente.
Considerando che ogni uomo che si alza divide le noci in cinque gruppi, toglie la sua parte e da poi una noce alla scimmia, gli uomini sono praticamente cinque e alla fine le noci restanti sono divisibili in gruppi di cinque, allora si ottiene il sistema
X_{iniziali} = 5k1+1
Y = 4k1;
Y=5k2+1;
Z=4k2;
Z=5k3+1;
W=4k3;
W=5k4+1;
J=4k4;
J=5k5+1;
F=4k5;
F=k6;
E’ un sistema di 11 equazioni in 12 incognite, quindi ammette infinite soluzioni.
Se troviamo le noci iniziali (X) in funzione delle noci che rimangono alla fine (k6) allora so trova alla fine
(1024 X) – (3125 K6) = 8404;
E’ un’equazione nelle variabili intere X e Y. Per risolverla applichiamo l’algoritmo di Euclide Esteso per cui si arriva alla soluzione particolare
(1024) * (1474 * 8404) – (3125) * (483 * 8404) = 8404;
A questa va aggiunta la soluzione dell’omogenea associata
(1024 X) – (3125 K6) = 0;
La quale ammette come soluzione
X = 3125 m ; K6=1024 m;
Dove m è un intero relativo.
Quindi la soluzione generale è
X= 3125 m +1474 * 8404; K6= 1024 m + 483 * 8404;
Adesso condiderando che le noci finali devono essere un numero maggiore di zero e minore del numero di noci iniziali si ha
0 < 1024 m + 483 * 8404 < 3125 m +1474 * 8404;
dalla quale si ricava che m > - 3964, poichè deve essere intero relativo si ha che m >= 3963.
Sotto questa condizione si ha che il numero di coppie che verifica quell’equazione è praticamente infinito. Il numero minimo di noci si ha per m = -3963, da cui si ottiene
X = 3121; K6= 1020;
Melo
Grazie per il tuo contributo!
Visto che sei così ferrato in materia, se hai qualche rompicapo matematico invialo all'email dott[DOT]hack[AT]gmail[DOT]com...
Se non ne hai... va bene lo stesso!;) e auguri di buon anno!
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